第16篇｜平行四边形的面积：理解图形转化，掌握底乘高
第四专题：多边形的面积
本篇核心：理解平行四边形面积公式的推导过程，正确区分底与对应的高，能用公式计算面积、反求底或高，并解决简单的实际问题。
从这一篇开始，我们进入第四大核心专题——多边形的面积。
以前，我们学过长方形的面积等于长乘宽。平行四边形看起来是“斜”的，还能用类似的方法计算吗？
答案是可以。不过，比背熟“底乘高”更重要的，是弄明白：为什么要乘高，而不能直接乘另一条斜边？
一、核心知识：抓住这4点
① 把平行四边形转化成长方形，面积不变
可以沿着平行四边形的一条高剪下一块直角三角形，再把它平移到另一侧，拼成一个长方形。
剪拼前后：
- 没有增加或减少图形的面积。
- 拼成的长方形的长，等于原平行四边形的底。
- 拼成的长方形的宽，等于原平行四边形对应的高。
因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。
这种把不熟悉的图形变成熟悉图形的方法，叫作“转化”。以后学习三角形和梯形的面积时，还会用到这种思想。
② 面积公式是底乘对应的高，不是两条邻边相乘
用S表示面积，a表示底，h表示这条底所对应的高：
S＝a×h，也可以简写为S＝ah。
例如：一个平行四边形的底是12厘米，对应的高是5厘米。
面积：12×5＝60（平方厘米）。
要特别注意：高是与选定的底垂直的线段长度，不一定等于另一条斜边的长度。
如果已知底是12厘米、斜边是7厘米、对应的高是5厘米，就应该算12×5，而不是12×7。
③ 已知面积和底，可以反求对应的高
根据“面积＝底×高”，可以得到：
- 高＝面积÷底。
- 底＝面积÷对应的高。
例如：一个平行四边形的面积是72平方厘米，底是9厘米。
高：72÷9＝8（厘米）。
注意单位：面积一般用平方厘米、平方米等面积单位；底和高用厘米、米等长度单位。同一道题中，长度单位要先统一。
④ 等底等高的平行四边形，面积相等
两个平行四边形，只要底相等、对应的高也相等，即使倾斜的程度不同，它们的面积仍然相等。
例如：两个平行四边形的底都是10厘米，高都是6厘米，那么面积都是60平方厘米。
但面积相等，不代表周长一定相等；也不能仅凭图形看起来更“斜”，就判断它的面积更大或更小。
二、典型例题：三类情况要会
例1｜直接计算面积
一个平行四边形的底是14厘米，对应的高是6厘米。它的面积是多少？
分析：已知底与对应的高，直接用面积公式。
14×6＝84（平方厘米）。
答案：84平方厘米。
例2｜辨清斜边与高
一个平行四边形的一条底边长16米，与这条底相邻的斜边长10米，底边对应的高是6米。它的面积是多少？
分析：面积必须用底乘这条底对应的高。10米是斜边长度，不是高。
16×6＝96（平方米）。
答案：96平方米。
例3｜知道面积，反求高
一个平行四边形的面积是84平方厘米，底是12厘米。它的高是多少？
分析：高＝面积÷底。
84÷12＝7（厘米）。
验算：12×7＝84（平方厘米）。
答案：7厘米。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础掌握（会找底高、会用公式）
- 一个平行四边形的底是9厘米，对应的高是4厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个平行四边形的底是12米，对应的高是7米。面积是多少平方米？
- 一个平行四边形的底是6.5厘米，对应的高是4厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个平行四边形的底是5.8米，对应的高是10米。面积是多少平方米？
- 一个平行四边形的面积是72平方厘米，底是9厘米。对应的高是多少厘米？
B组｜易错辨析（分清底、高、斜边和单位）
- 判断并说明理由：“平行四边形的面积等于相邻两条边的长度相乘。”
- 判断并改正：“一个平行四边形的底是10厘米，高是6厘米，面积是10×6÷2＝30平方厘米。”
- 一个平行四边形的底是14厘米，斜边是7厘米，底对应的高是5厘米。小明列式14×7＝98（平方厘米）。他算得对吗？正确面积是多少？
- 判断并说明理由：“两个平行四边形的底都是8厘米，对应的高都是5厘米，即使形状不同，面积也相等。”
- 一个平行四边形的底是8米，对应的高是50厘米。它的面积是多少平方米？
C组｜实际应用（列式、计算、写好单位）
- 一个平行四边形花坛的底是18米，对应的高是7米。花坛的面积是多少平方米？
- 一块平行四边形广告牌，底是7.5米，对应的高是4米。制作3块这样的广告牌，总面积是多少平方米？
- 一块平行四边形菜地的面积是180平方米，底是15米。底对应的高是多少米？
D组｜思维提升（理解面积不变和对应关系）
- 一个平行四边形以12厘米的边为底时，对应的高是5厘米。如果改用另一条长10厘米的边作底，那么这条底对应的高是多少厘米？
- 一个平行四边形的底是12厘米，对应的高是5厘米。保持底长和高不变，只让图形向一侧倾斜得更明显。
（1）原来的面积是多少平方厘米？
（2）变化后的面积是多少平方厘米？
（3）请说明为什么面积没有改变。
四、参考答案与解析
A组｜基础掌握
第1题：36平方厘米。
解析：面积＝底×高，9×4＝36（平方厘米）。
第2题：84平方米。
解析：12×7＝84（平方米）。底与高的单位都是米，所以面积单位是平方米。
第3题：26平方厘米。
解析：6.5×4＝26（平方厘米）。小数乘整数时，先按整数乘法计算，再正确确定小数点位置。
第4题：58平方米。
解析：5.8×10＝58（平方米）。
第5题：8厘米。
解析：高＝面积÷底，72÷9＝8（厘米）。验算：9×8＝72（平方厘米）。
B组｜易错辨析
第6题：错误。
解析：平行四边形的面积＝底×对应的高，不是任意两条相邻边的长度相乘。例如，底8厘米、斜边6厘米、对应的高5厘米时，面积是8×5＝40平方厘米，不能算成8×6＝48平方厘米。
第7题：错误，正确面积是60平方厘米。
解析：平行四边形的面积不需要除以2。正确列式为10×6＝60（平方厘米）。
第8题：不对，正确面积是70平方厘米。
解析：7厘米是斜边，不是14厘米这条底所对应的高。应当用14×5＝70（平方厘米）。
第9题：正确。
解析：它们的面积都等于8×5＝40（平方厘米）。只要底和对应的高相等，平行四边形的面积就相等，与倾斜程度无关。
第10题：4平方米。
解析：先统一单位：50厘米＝0.5米。再算8×0.5＝4（平方米）。也可以把8米化成800厘米，计算得到40000平方厘米，再换算成4平方米。
C组｜实际应用
第11题：126平方米。
解析：18×7＝126（平方米）。
答：花坛的面积是126平方米。
第12题：90平方米。
解析：一块广告牌的面积是7.5×4＝30（平方米），3块共30×3＝90（平方米）。
答：3块广告牌的总面积是90平方米。
第13题：12米。
解析：根据“高＝面积÷底”，180÷15＝12（米）。
答：底对应的高是12米。
D组｜思维提升
第14题：6厘米。
解析：同一个平行四边形，无论选哪条边作底，面积都不变。先求面积：12×5＝60（平方厘米）；再用另一条边作底：60÷10＝6（厘米）。注意，换了底以后，也必须换成与这条底对应的高。
第15题：（1）60平方厘米；（2）60平方厘米；（3）因为底和对应的高都不变，所以面积不变。
解析：原面积是12×5＝60（平方厘米）。平行四边形向一侧倾斜时，只要底仍为12厘米、与它对应的高仍为5厘米，面积始终是60平方厘米。不能只凭图形“变斜”就判断面积改变。
五、本篇总结
平行四边形的面积，最重要的是理解转化过程、底与高的对应关系，而不是只会背公式。
① 理解转化：沿高剪拼，可以把平行四边形转化成长方形，面积不变。
② 掌握公式：平行四边形的面积＝底×对应的高，字母式为S＝ah。
③ 辨清底高：斜边不一定是高；换一条边作底时，必须使用与新底对应的高。
④ 灵活应用：已知面积和底，可以用面积÷底求高；计算时注意统一单位。
⑤ 理解面积不变：等底等高的平行四边形面积相等，不受倾斜程度影响。
达标标准：能解释面积公式的由来，准确找出底和对应的高，熟练计算面积及反求高，能够解决基本生活应用题，并能判断常见的底高混淆错误。
下一篇预告：三角形的面积——理解为什么要除以2，学会正确使用底和高。
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