第10篇｜公倍数与最小公倍数：寻找共同倍数，解决周期问题

上一课，我们学习了公因数与最大公因数，解决了“怎样分得一样多、恰好分完”的问题。

今天换一个角度：两个数不断乘1、2、3……，什么时候会出现相同的倍数？其中最小的一个又是多少？这就是公倍数与最小公倍数要解决的问题。

一、核心知识：抓住这4点

① 公倍数：几个数共同的倍数

例如，找4和6在40以内的公倍数。

• 4的正倍数：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40。
• 6在40以内的正倍数：6、12、18、24、30、36。

两组中都出现的数是12、24、36。

所以，4和6在40以内的公倍数是12、24、36。

注意：公倍数必须同时是这两个数的倍数，不能只满足其中一个条件。

② 最小公倍数：所有正公倍数中最小的一个

4和6的正公倍数依次有12、24、36、48……

其中最小的是12，所以4和6的最小公倍数是12。

要记住：

• 两个非0自然数的正公倍数有无限多个。
• 两个非0自然数的最小公倍数只有一个。
• 两个数的其他正公倍数，都是它们最小公倍数的倍数。

例如，12、24、36、48……都是4和6的公倍数，也都是12的正倍数。

③ 求最小公倍数：会列举，也要学会灵活计算

方法一：列举法。

求6和9的最小公倍数。

• 6的正倍数：6、12、18、24、30、36……
• 9的正倍数：9、18、27、36……

第一个共同出现的数是18，所以最小公倍数是18。

方法二：分解质因数法。

求12和18的最小公倍数。

• 12 = 2 × 2 × 3。
• 18 = 2 × 3 × 3。

要让一个数既是12的倍数，又是18的倍数，质因数2至少要有两个，质因数3至少要有两个。

所以，最小公倍数是2 × 2 × 3 × 3 = 36。

还要记住一个特殊情况：如果一个数是另一个数的倍数，那么较大的数就是它们的最小公倍数。例如，6和18的最小公倍数是18。

④ 解决实际问题：抓住“再次同时”和“至少多少”

例如：两辆校车上午8:00同时发车，甲车每8分钟发一班，乙车每12分钟发一班。按照固定间隔持续发车，它们下一次同时发车是什么时候？

两车再次同时发车，经过的分钟数必须既是8的倍数，也是12的倍数。

8和12的最小公倍数是24。

8:00再过24分钟是8:24。

答：下一次同时发车的时间是上午8:24。

关键：遇到“第一次再次同时发生”“至少需要多少个才能按不同规格恰好分完”等问题，通常要考虑最小公倍数，但仍要先分析题目的具体条件。

二、典型例题：三类情况要会

例1｜从倍数表里找到共同的数

找出4和6在40以内的所有公倍数，并求最小公倍数。

思路：分别列出4和6在40以内的正倍数，再挑出相同的数。

答案：公倍数是12、24、36；最小公倍数是12。

例2｜利用分解质因数法

求12和18的最小公倍数。

思路：12 = 2 × 2 × 3，18 = 2 × 3 × 3。取满足两数所需的全部质因数，2取两个，3取两个。

答案：2 × 2 × 3 × 3 = 36。

验算：36 ÷ 12 = 3，36 ÷ 18 = 2，都没有余数。

例3｜求周期再次重合的时间

两盏提示灯同时闪亮后，甲灯每6秒闪亮一次，乙灯每10秒闪亮一次。它们至少再过多少秒同时闪亮？

思路：6的正倍数有6、12、18、24、30……；10的正倍数有10、20、30……，最早相同的是30。

答案：至少再过30秒同时闪亮。

三、专项训练（建议先独立完成）

A组｜基础掌握（会找公倍数、会求最小公倍数）

1. 写出3和4在40以内的所有正公倍数，并求它们的最小公倍数。

1. 求6和10的最小公倍数。

1. 求5和20的最小公倍数。

1. 求7和9的最小公倍数。

1. 求8和14的最小公倍数。

B组｜易错辨析（判断正误，并说明理由）

1. 判断：“两个非0自然数的正公倍数只有有限多个。”

1. 判断：“6和8的最小公倍数是48。”

1. 判断：“如果较大的数是较小的数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较小的数。”

1. 判断：“4和6的每一个正公倍数，都是12的倍数。”

1. 判断：“10和15的最小公倍数是10 × 15 = 150。”

C组｜实际应用（学会识别共同周期）

1. 两辆公交车早上8:00同时从总站发车。甲车每9分钟发一班，乙车每12分钟发一班，按照固定间隔持续发车。它们下一次同时发车是什么时候？

1. 两个指示灯在同一时刻亮起，甲灯每8秒亮一次，乙灯每14秒亮一次。按照固定间隔持续闪亮，至少再过多少秒会同时亮起？

1. 有一批饼干，按每盒6块或每盒8块包装都恰好装完。饼干总数大于50块、小于100块，最少有多少块？

D组｜思维提升（多条件综合判断）

1. 求12、15和20这三个数的最小公倍数。

1. 一个小于40的正整数是6的倍数，它与8的最小公倍数是24。这个数可能是多少？请全部写出。

四、参考答案与解析

A组｜基础掌握

第1题：12、24、36；最小公倍数是12。

解析：3在40以内的正倍数有3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39；4在40以内的正倍数有4、8、12、16、20、24、28、32、36、40。共同的是12、24、36，其中最小的是12。

第2题：30。

解析：6的正倍数有6、12、18、24、30……；10的正倍数有10、20、30……，第一个共同的数是30。

第3题：20。

解析：20是5的倍数，所以5和20的最小公倍数是较大的数20。

第4题：63。

解析：7 = 7，9 = 3 × 3，两数没有相同的质因数，因此最小公倍数是7 × 9 = 63。

第5题：56。

解析：8 = 2 × 2 × 2，14 = 2 × 7。最小公倍数需要三个2和一个7，所以是2 × 2 × 2 × 7 = 56。

B组｜易错辨析

第6题：错误。

解析：例如4和6的正公倍数有12、24、36、48……，可以一直找下去，没有最大值，因此正公倍数有无限多个。

第7题：错误。

解析：6和8的最小公倍数是24，因为24既是6的倍数，也是8的倍数，而且不存在比24更小的正公倍数。48虽然也是公倍数，但不是最小的。

第8题：错误。

解析：例如9和27，27是9的倍数，两数的最小公倍数是较大的数27，而不是9。注意不要与“最大公因数是较小的数”混淆。

第9题：正确。

解析：4和6的最小公倍数是12，它们的所有正公倍数都是12的正倍数，例如12、24、36……

第10题：错误。

解析：10 = 2 × 5，15 = 3 × 5。最小公倍数只需包含2、3、5各一个，所以是2 × 3 × 5 = 30。不能遇到两个数就直接把它们相乘。

C组｜实际应用

第11题：上午8:36。

解析：两车再次同时发车，经过的分钟数要同时是9和12的倍数。9 = 3 × 3，12 = 2 × 2 × 3，最小公倍数是2 × 2 × 3 × 3 = 36。8:00再过36分钟是8:36。

答：下一次同时发车是上午8:36。

第12题：56秒。

解析：两个指示灯再次同时亮起，经过的秒数应当同时是8和14的倍数。8和14的最小公倍数是56。

答：至少再过56秒同时亮起。

第13题：72块。

解析：总数要同时是6和8的倍数。6和8的最小公倍数是24，正公倍数依次是24、48、72、96……其中大于50且小于100的有72和96，最少是72。

答：最少有72块饼干。

D组｜思维提升

第14题：60。

解析：12 = 2 × 2 × 3，15 = 3 × 5，20 = 2 × 2 × 5。要同时成为三个数的倍数，需要两个2、一个3、一个5，最小公倍数是2 × 2 × 3 × 5 = 60。

第15题：6、12、24。

解析：小于40的6的正倍数有6、12、18、24、30、36。分别与8求最小公倍数：

• 6和8：24。
• 12和8：24。
• 18和8：72。
• 24和8：24。
• 30和8：120。
• 36和8：72。

因此，符合条件的数是6、12、24。

五、本篇总结

公倍数与最小公倍数的核心，是找出多个数共同达到的倍数，并确定其中最小的一个。

① 公倍数：同时是两个或多个数的倍数；正公倍数有无限多个。

② 最小公倍数：所有正公倍数中最小的一个；其他正公倍数都是它的倍数。

③ 求法：简单的数可用列举法；较大的数可用分解质因数法。若一个数是另一个数的倍数，最小公倍数就是较大的数。

④ 实际应用：遇到周期再次重合、按照不同规格都能恰好分完且要求数量最少的问题，可以考虑最小公倍数。

⑤ 特别区分：最大公因数解决“共同因数中最大的一个”，最小公倍数解决“共同倍数中最小的一个”。

达标标准：能够找出两个数指定范围内的公倍数，熟练求最小公倍数，辨别常见错误，并能正确解决简单的周期和包装问题。

下一篇预告：因数与倍数综合应用——把倍数特征、质因数、最大公因数和最小公倍数联系起来。

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