第15篇｜用字母表示数和数量关系综合应用：从表达走向解决问题

前面三篇，我们分别学习了用字母表示数、用字母表示数量关系，以及用字母表示计算公式与运算律。

这一篇将它们联系起来。遇到一道题，我们不仅要知道怎么算，更要能说清楚：字母表示什么？各个数量之间是什么关系？为什么这个式子能表示题意？

本篇只要求列出含字母的式子、理解数量关系并代入求值，不涉及解方程。

一、核心知识：抓住这4点

① 先找准字母代表的数量，再写关系

例如：一本笔记本售价a元，一支钢笔比笔记本贵6元。

• 笔记本的单价是a元。
• 钢笔的单价是（a＋6）元。
• 买1本笔记本和1支钢笔，需要a＋（a＋6）＝2a＋6（元）。

注意：“贵6元”表示相差6元，不是价格变为6倍。字母也应始终表示同一个数量。

② 遇到多步问题，先分别表示各部分，再合起来

例如：甲组有x人，乙组比甲组的2倍多4人。

• 甲组：x人。
• 乙组：2x＋4人。
• 两组总人数：x＋（2x＋4）＝3x＋4（人）。

不要直接把“两组总人数”写成2x＋4，因为这只是乙组的人数。

③ 公式与运算律，可以帮助整理复杂的式子

例如：一个长方形的长为a厘米、宽为b厘米，宽增加2厘米，长不变。

• 新面积：a（b＋2）平方厘米。
• 利用乘法分配律：a（b＋2）＝ab＋2a。
• 原面积：ab平方厘米。
• 面积增加：2a平方厘米。

这说明：同一个数量可以有不同的正确表达方式。写法可以不同，表示的关系必须相同。

④ 代入求值后，还要检查实际意义

例如：一根彩带长30米，每个装饰品需要1.5米，做n个后剩余（30－1.5n）米。

当n＝8时，剩余30－1.5×8＝18（米）。

但n表示做出的装饰品数量，因此n应是非负整数；因为彩带不能不够用，还必须满足1.5n不大于30。

检查一个式子时，要同时检查运算、单位和字母的取值是否合理。

二、典型例题：三种综合能力要会

例1｜分析价格关系并求总价

一本笔记本售价x元，一支钢笔比笔记本贵6元。买2本笔记本和1支钢笔，一共需要多少元？当x＝8时，需要多少元？

思路：钢笔单价为x＋6元，两本笔记本的价钱为2x元。

总价：2x＋（x＋6）＝3x＋6（元）。

当x＝8时：3×8＋6＝30（元）。

答案：共需（3x＋6）元；当x＝8时，共需30元。

例2｜利用运算律表示变化后的面积

一个长方形的长为a厘米、宽为b厘米。宽增加2厘米后，新面积是多少？面积比原来增加多少？当a＝7、b＝4时，新面积是多少？

思路：新宽为b＋2厘米。

新面积：a（b＋2）＝ab＋2a（平方厘米）。

增加的面积：ab＋2a－ab＝2a（平方厘米）。

当a＝7、b＝4时：7×（4＋2）＝42（平方厘米）。

答案：新面积为a（b＋2）平方厘米，增加2a平方厘米；代入后新面积为42平方厘米。

例3｜从部分数量求总量

甲组有m人，乙组比甲组的2倍多4人。两组一共有多少人？当m＝12时，两组一共有多少人？

甲组：m人；乙组：2m＋4人。

合计：m＋（2m＋4）＝3m＋4（人）。

当m＝12时：3×12＋4＝40（人）。

答案：两组共有（3m＋4）人；当m＝12时，共40人。

三、专项训练（建议先独立完成）

A组｜基础掌握（看懂数量关系，写出正确式子）

1. 一支铅笔售价a元，一本练习本比铅笔贵5元。一本练习本售价多少元？

1. 甲桶有x升水，乙桶比甲桶少3升。两桶共有多少升水？用含字母的式子表示。

1. 一个正方形的边长是m厘米。分别用字母表示它的周长和面积。

1. 一个长方形的长为a米、宽为b米。分别用字母表示它的周长和面积。

1. 根据乘法分配律，补全等式：6（n＋4）＝（　　）＋（　　）。

B组｜易错辨析（判断正误，并改正错误）

1. 判断：“2（x＋5）＝2x＋5。”

1. 判断：“正方形边长为a时，a²和2a表示的数量总是相等。”

1. 一支钢笔售价x元，一支圆珠笔比钢笔贵2元。小明买3支钢笔和2支圆珠笔，写出总价为5x＋2元。判断对错并改正。

1. 判断：“哥哥比弟弟大5岁，3年后哥哥就比弟弟大8岁。”

1. 判断：“如果n表示某班的学生人数，那么n可以取39.5。”

C组｜实际应用（列式、代入并注意单位）

1. 用三张相同的正方形纸片制作展示卡，纸片互不重叠，每张边长为a厘米。

（1）三张纸片的周长之和是多少厘米？

（2）三张纸片的面积之和是多少平方厘米？

（3）当a＝5时，分别求周长之和与面积之和。

1. 葡萄每千克p元，苹果每千克比葡萄便宜3元。买2千克葡萄和3千克苹果共需多少元？当p＝12时，共需多少元？

1. 一卷彩带原长48米，制作一个装饰品需要1.5米。做了n个装饰品后，还剩多少米？当n＝16时，还剩多少米？

D组｜思维提升（比较变化，发现不变的关系）

1. 一个长方形花圃长a米、宽b米。现在把宽增加3米，长不变。

（1）用含字母的式子表示新花圃的周长与面积。

（2）周长和面积分别比原来增加多少？

（3）当a＝12、b＝7时，求新花圃的周长与面积。

1. 甲盒原来有a张卡片，乙盒比甲盒多6张。后来甲盒放入4张卡片，乙盒取出2张卡片。

（1）用含字母的式子表示变化后两盒各有多少张。

（2）变化后哪盒更多？相差多少张？

（3）当a＝18时，变化后两盒各有多少张？

四、参考答案与解析

A组｜基础掌握

第1题：a＋5元。

解析：练习本比铅笔贵5元，所以用铅笔的单价加5元。

第2题：2x－3升。

解析：乙桶有（x－3）升，两桶合计x＋（x－3）＝2x－3（升）。本题中x应不小于3。

第3题：周长4m厘米，面积m²平方厘米。

解析：正方形周长＝边长×4，面积＝边长×边长。注意m²不是2m。

第4题：周长2（a＋b）米，面积ab平方米。

解析：长方形周长是两条长与两条宽的总和，面积是长乘宽。注意使用不同的单位。

第5题：6n；24。

解析：6（n＋4）＝6×n＋6×4＝6n＋24，乘法分配律不能漏乘其中一项。

B组｜易错辨析

第6题：错误。正确等式是2（x＋5）＝2x＋10。

解析：括号外的2既要乘x，也要乘5，不能漏乘。

第7题：错误。

解析：a²表示a×a，2a表示2×a。比如a＝4时，a²＝16，而2a＝8，两者不相等。

第8题：错误。正确总价是5x＋4元。

解析：3支钢笔共3x元，2支圆珠笔共2（x＋2）＝2x＋4元，总价为3x＋2x＋4＝5x＋4（元）。圆珠笔每支贵2元，买2支就一共贵4元。

第9题：错误。

解析：哥哥和弟弟都长大3岁，年龄差不会改变，3年后仍相差5岁。

第10题：错误。

解析：学生人数必须是非负整数，不可能是39.5人。用字母表示数时，要考虑实际取值范围。

C组｜实际应用

第11题：（1）12a厘米；（2）3a²平方厘米；（3）60厘米、75平方厘米。

解析：每张正方形纸片的周长为4a厘米，三张周长之和是3×4a＝12a（厘米）；每张面积为a²平方厘米，三张面积之和为3a²（平方厘米）。当a＝5时，周长之和12×5＝60（厘米），面积之和3×5×5＝75（平方厘米）。题目求的是三张纸片各自周长的总和，不是拼接后整体图形的周长。

第12题：5p－9元；当p＝12时，共需51元。

解析：苹果每千克（p－3）元，总价为2p＋3（p－3）＝2p＋3p－9＝5p－9（元）。当p＝12时，5×12－9＝51（元）。本题中p应大于3，才符合苹果单价为正数的生活情境。

第13题：48－1.5n米；当n＝16时，还剩24米。

解析：已用去1.5n米，剩余48－1.5n米。代入n＝16，得到48－1.5×16＝48－24＝24（米）。n为非负整数，且n不能超过32。

D组｜思维提升

第14题：（1）新周长为2（a＋b＋3）米，新面积为a（b＋3）平方米；（2）周长增加6米，面积增加3a平方米；（3）新周长44米，新面积120平方米。

解析：增加后宽是b＋3米，所以新周长为2（a＋b＋3），新面积为a（b＋3）＝ab＋3a。与原周长2（a＋b）、原面积ab相比，周长增加6米，面积增加3a平方米。代入a＝12、b＝7，新宽是10米，新周长2×（12＋10）＝44（米），新面积12×10＝120（平方米）。

第15题：（1）甲盒a＋4张，乙盒a＋4张；（2）两盒一样多，相差0张；（3）甲盒22张，乙盒22张。

解析：乙盒原有a＋6张，取出2张后有a＋6－2＝a＋4（张）；甲盒原有a张，放入4张后也有a＋4张。两盒原来相差6张，甲盒增加4张、乙盒减少2张，差距刚好缩小6张。当a＝18时，两盒都是18＋4＝22（张）。

五、本篇总结

用字母表示数和数量关系，真正重要的是从题意中发现不变的数学联系，而不是机械套公式。

① 先定字母：明确每个字母表示的数量和单位，并始终保持含义一致。

② 再找关系：分清相差、倍数、总量和剩余量，遇到多步问题先写出各部分的式子。

③ 善用公式与运算律：图形周长、面积公式可以用字母表示；乘法分配律能够帮助我们将不同形式的式子联系起来。

④ 代入并检查：恢复省略的乘号，按正确顺序计算，同时检查单位、结果大小及取值是否符合生活实际。

达标标准：能够独立分析两步数量关系，正确列出含字母的式子，利用长方形和正方形公式及运算律求值，并解释不同式子为何表示同一个数量。

第三专题小结：至此，“用字母表示数和数量关系”的四篇核心训练已经完成。

下一篇预告：进入第四专题“多边形的面积”，先从平行四边形的面积开始，理解图形转化与面积公式的来历。

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