第20篇｜多边形面积综合应用：选对公式，理解关系，解决实际问题

前面四篇，我们依次学习了平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积。每一种图形都有自己的计算方法，但它们之间并不是互不相关的。

这一篇要把这些知识联系起来：面对不同图形，先判断该用什么公式；遇到不完整的条件，先求缺少的长度；遇到组合图形，学会分割或添补。

一、核心知识：抓住这4点

① 认清图形，选择正确的面积公式

常见图形的面积公式如下：

• 长方形面积＝长×宽。
• 正方形面积＝边长×边长。
• 平行四边形面积＝底×对应的高。
• 三角形面积＝底×对应的高÷2。
• 梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。

组合图形没有统一的单个面积公式，通常要先分割成简单图形求和，或者从外围大图形中减去缺少的部分。

提醒：不要只看到题目里有两个长度就立即相乘，必须先辨清它们分别表示什么。

② 抓住“底与高对应”，理解不同图形的面积关系

例如，一个平行四边形和一个三角形，底都是12厘米，对应的高都是5厘米。

• 平行四边形面积：12×5＝60（平方厘米）。
• 三角形面积：12×5÷2＝30（平方厘米）。

所以，等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。

再看一个上底6厘米、下底12厘米、高5厘米的梯形：

（6＋12）×5÷2＝45（平方厘米）。

三个图形都用到了“底”和“高”，但公式并不相同。尤其要记住：平行四边形不除以2，三角形和梯形要除以2。

③ 已知面积反求长度，要从正确公式出发

常用的反求方法：

• 平行四边形：高＝面积÷底；底＝面积÷高。
• 三角形：高＝面积×2÷底；底＝面积×2÷高。
• 梯形：高＝面积×2÷（上底＋下底）；另一条底＝面积×2÷高－已知的底。

例如，一个三角形的面积为42平方厘米，底为12厘米，高是：

42×2÷12＝7（厘米）。

验算：12×7÷2＝42（平方厘米）。

提醒：反求三角形和梯形的底或高时，容易漏掉“面积×2”。

④ 组合图形先看结构，计算前统一单位

例如，一块长18厘米、宽12厘米的长方形纸板，从右上角剪去一个直角三角形。剪去部分的两条直角边分别沿长方形的上边和右边，长6厘米、4厘米。

原长方形面积：18×12＝216（平方厘米）。

剪去的三角形面积：6×4÷2＝12（平方厘米）。

剩余面积：216－12＝204（平方厘米）。

做题时要检查：有没有重复计算或漏算？有没有把斜边误当成高？长度单位是不是已经统一？

二、典型例题：三类综合问题要会

例1｜比较不同图形的面积

一个平行四边形和一个三角形的底都是15厘米，对应的高都是8厘米。它们的面积分别是多少？哪一个面积大，大多少？

分析：平行四边形直接用底乘高，三角形还要除以2。

平行四边形：15×8＝120（平方厘米）。

三角形：15×8÷2＝60（平方厘米）。

面积相差：120－60＝60（平方厘米）。

答案：平行四边形120平方厘米，三角形60平方厘米；平行四边形大60平方厘米。

例2｜根据面积反求梯形的高

一个梯形的面积是90平方米，上底8米，下底12米。它的高是多少米？

分析：已知面积和两条底，用“面积×2÷两底之和”求高。

90×2÷（8＋12）＝180÷20＝9（米）。

验算：（8＋12）×9÷2＝90（平方米）。

答案：高是9米。

例3｜用添补思想计算剩余面积

一块长18米、宽12米的长方形草地，从右上角划出一块直角三角形区域不再种草。该三角形的两条直角边分别沿草地的上边和右边，长6米和4米。剩余种草面积是多少？

分析：求剩余面积，用整个长方形的面积减去直角三角形的面积。

18×12－6×4÷2＝216－12＝204（平方米）。

答案：剩余种草面积为204平方米。

三、专项训练（建议先独立完成）

本篇所有图形条件均用文字交代清楚。遇到组合图形题，建议先根据题意画一个简单草图，再列式计算。

A组｜基础计算（5题）

1. 一个平行四边形的底是15厘米，对应的高是8厘米。面积是多少平方厘米？

1. 一个三角形的底是14米，对应的高是9米。面积是多少平方米？

1. 一个梯形的上底是7厘米，下底是13厘米，高是6厘米。面积是多少平方厘米？

1. 一个平行四边形和一个三角形的底都是10厘米，对应的高都是6厘米。分别求出它们的面积。

1. 一个三角形的面积是48平方厘米，底是12厘米。底对应的高是多少厘米？

B组｜易错辨析（5题）

1. 判断并改正：“一个三角形的底是12厘米，高是7厘米，面积是12×7＝84平方厘米。”

1. 一个梯形的上底8厘米、下底14厘米、高5厘米。小明列式为8＋14×5÷2＝43（平方厘米）。他的列式正确吗？正确面积是多少？

1. 一个平行四边形的底是12厘米，斜边长13厘米，底对应的高是5厘米。它的面积是多少平方厘米？

1. 一个三角形的底是2米，对应的高是50厘米。它的面积是多少平方米？

1. 判断并说明理由：“一个三角形与一个平行四边形的底都是12厘米，对应的高都是6厘米，因此面积一定相等。”

C组｜实际应用（3题）

1. 一块平行四边形麦田的底是24米，对应的高是15米。平均每平方米收获0.8千克小麦，这块麦田一共能收获多少千克小麦？

1. 一个梯形花圃的上底是10米，下底是18米，高是8米。每平方米需要施肥0.25千克，给整个花圃施肥共需要多少千克？

1. 一块“房屋形”展示板由下方长方形和上方三角形组成，两部分内部不重叠。长方形长12米、高6米；三角形的底与长方形上边完全重合，底长12米，对应的高4米。制作这块展示板的材料每平方米6元，不考虑损耗，材料费是多少元？

D组｜思维提升（2题）

1. 一个平行四边形以16厘米的边为底时，对应的高是6厘米。如果改用另一条长12厘米的边作底，新底对应的高是多少厘米？请说明为什么面积不变。

1. 一块长18厘米、宽12厘米的长方形纸板，从右上角沿着纸板的上边和右边剪去一个长6厘米、宽4厘米的小长方形，形成一个直角缺口。

（1）用“原面积减去剪去的面积”的方法求剩余面积。

（2）沿着缺口的左侧向下延长分割线，把剩余图形分成一个宽12厘米、高12厘米的长方形和一个宽6厘米、高8厘米的长方形。再用面积相加的方法求一次。

（3）说明两种方法为什么会得到相同结果。

四、参考答案与解析

A组｜基础计算

第1题：120平方厘米。

解析：平行四边形面积＝底×高，15×8＝120（平方厘米）。

第2题：63平方米。

解析：三角形面积＝底×高÷2，14×9÷2＝63（平方米）。

第3题：60平方厘米。

解析：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，（7＋13）×6÷2＝60（平方厘米）。

第4题：平行四边形60平方厘米，三角形30平方厘米。

解析：平行四边形面积为10×6＝60（平方厘米）；三角形面积为10×6÷2＝30（平方厘米）。等底等高时，三角形面积是平行四边形面积的一半。

第5题：8厘米。

解析：三角形的高＝面积×2÷底，48×2÷12＝8（厘米）。验算：12×8÷2＝48（平方厘米）。

B组｜易错辨析

第6题：错误。正确面积是42平方厘米。

解析：原式漏掉“÷2”。正确算式为12×7÷2＝42（平方厘米）。

第7题：不正确。正确面积是55平方厘米。

解析：梯形面积应先把上底与下底相加，不能漏写括号。正确列式为（8＋14）×5÷2＝55（平方厘米）；8＋14×5÷2＝43改变了运算顺序。

第8题：60平方厘米。

解析：面积要用底与对应的高，不能用斜边代替高。12×5＝60（平方厘米）。

第9题：0.5平方米。

解析：先统一单位，50厘米＝0.5米。三角形面积为2×0.5÷2＝0.5（平方米）。

第10题：错误。

解析：平行四边形面积为12×6＝72（平方厘米），三角形面积为12×6÷2＝36（平方厘米）。等底等高时，三角形面积是平行四边形面积的一半，并不相等。

C组｜实际应用

第11题：288千克。

解析：麦田面积为24×15＝360（平方米），小麦总产量为360×0.8＝288（千克）。

答：一共能收获288千克小麦。

第12题：28千克。

解析：花圃面积为（10＋18）×8÷2＝112（平方米）；所需肥料为112×0.25＝28（千克）。

答：共需要28千克肥料。

第13题：576元。

解析：长方形部分面积为12×6＝72（平方米），三角形部分面积为12×4÷2＝24（平方米）。两部分没有重叠，总面积为72＋24＝96（平方米），材料费为96×6＝576（元）。

答：不考虑损耗，材料费是576元。

D组｜思维提升

第14题：8厘米。

解析：无论选择平行四边形的哪一条边作底，它表示的都是同一个图形，面积不变。原面积为16×6＝96（平方厘米）；换成12厘米的边作底后，对应的高为96÷12＝8（厘米）。验算：12×8＝96（平方厘米）。

第15题：（1）192平方厘米；（2）192平方厘米；（3）两种方法计算的是同一块剩余区域的面积。

解析：

方法一，添补法：原长方形面积为18×12＝216（平方厘米），剪去的小长方形面积为6×4＝24（平方厘米），剩余216－24＝192（平方厘米）。

方法二，分割法：左侧长方形面积为12×12＝144（平方厘米）；右下方长方形面积为6×8＝48（平方厘米）。两部分没有重叠，也没有遗漏，面积之和为144＋48＝192（平方厘米）。

两种方法都完整覆盖剩余图形，并且没有重复计算，所以结果相同。

五、本篇总结

综合学习多边形的面积，真正需要掌握的不是更多公式，而是根据图形特点选择正确的方法。

① 先认图形：平行四边形用“底×高”，三角形用“底×高÷2”，梯形用“（上底＋下底）×高÷2”。

② 找准对应关系：高必须与选定的底对应，斜边不能随意当成高；求面积前先统一长度单位。

③ 学会反求：已知面积求底或高，要从面积公式反过来计算，尤其注意三角形和梯形中的“×2”。

④ 善用转化：组合图形可以分割求和，也可以添补相减，关键是不重算、不漏算。

⑤ 理解数量变化：等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半；同一个图形换底时，面积不变，但对应的高可能改变。

达标标准：能够独立选择适合的面积公式，正确处理底与高、单位换算和反求长度问题，能通过分割法或添补法解决简单的组合图形应用题，并说明计算依据。

第四专题小结：至此，我们已完成平行四边形、三角形、梯形、组合图形及多边形面积综合应用的五篇核心训练。

本专辑核心知识阶段小结：前四大专题的基础训练已经完成。后续可以针对易错知识点进行查漏补缺，也可以安排四大专题的综合检测。

粒粒学｜让每一个核心知识点，都真正学懂、练会。