第07篇｜质数与合数：从因数个数入手，学会准确分类
第二专题：因数与倍数
本篇核心：理解质数和合数的意义，掌握按照因数个数分类的方法，能判断常见质数和合数，并运用知识解决简单问题。
上一课，我们学习了2、3、5的倍数特征。今天继续研究整数的性质：为什么有的数只有两个因数，有的数却有很多因数？
答案就在“质数与合数”的分类方法里。学会这部分知识，不仅有助于理解数的组成，也为后续学习分解质因数、公因数、公倍数以及分数约分、通分奠定基础。
一、核心知识：抓住这4点
① 质数：只有1和它本身两个因数
例如，7的因数只有1和7。
所以，7是质数。质数也叫素数。
再看13，它的因数只有1和13，因此13也是质数。
判断关键：一个大于1的自然数，如果恰好只有两个不同的因数——1和它本身，这个数就是质数。
② 合数：除了1和本身，还有其他因数
例如，12的因数有1、2、3、4、6、12。
12除了1和它本身，还有2、3、4、6这些因数，因此12是合数。
再看9，9的因数有1、3、9，因此9也是合数。
判断关键：一个大于1的自然数，如果有两个以上不同的因数，这个数就是合数。
③ 1既不是质数，也不是合数
1只有一个因数，就是1。
它不符合质数“恰好两个因数”的要求，也不符合合数“两个以上因数”的要求。
所以：1既不是质数，也不是合数。
本篇按照教材常用范围，讨论非0自然数的分类：1、质数和合数。0不参与本篇的质数与合数分类。
④ 判断质数与合数，要找因数，不能只看奇偶
例如：
- 2的因数只有1和2，因此2是质数，也是唯一的偶质数。
- 9的因数有1、3、9，因此9是合数，虽然它是奇数。
- 15可以写成3 × 5，因此15除了1和15，还有3和5，是合数。
判断一个较大的数时，可以先用2、3、5的倍数特征排查；如果没有发现其他因数，还需要继续检查，不能直接断定它是质数。
例如：49不是2、3、5的倍数，但49 = 7 × 7，因此49是合数。
二、典型例题：三类情况要会
例1｜根据因数的个数判断
判断11和18分别是质数还是合数。
思路：
- 11的因数只有1和11，共2个，因此11是质数。
- 18的因数有1、2、3、6、9、18，超过2个，因此18是合数。
答案：11是质数，18是合数。
例2｜找出指定范围内的质数
找出10至20（含10和20）之间的所有质数。
思路：依次排查11、12、13、14、15、16、17、18、19；其中合数有12、14、15、16、18，剩下的11、13、17、19都只有两个因数。
答案：11、13、17、19。
例3｜不要把奇数误认为质数
判断21是不是质数。
思路：21虽然是奇数，但2 + 1 = 3，说明21是3的倍数；21 = 3 × 7，除了1和21，还有因数3和7。
答案：21是合数，不是质数。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础认识（分清质数、合数和1）
- 13只有（ ）和（ ）两个因数，所以13是（ ）数。
- 写出12的所有因数，并判断12是质数还是合数。
- 将1、2、9分别归入“质数”“合数”“既不是质数也不是合数”三类。
- 写出20以内（不含20）的所有质数。
- 从21、23、25、29中找出所有合数。
B组｜易错辨析（判断正误并说明理由）
- 判断：“1是最小的质数。”
- 判断：“2是偶数，所以2一定是合数。”
- 判断：“所有奇数都是质数。”
- 判断：“大于2的质数一定是奇数。”
- 判断：“两个质数相乘，乘积仍然是质数。”
C组｜实际应用（利用因数关系解决问题）
- 用24个同样大小的正方形拼成一个长方形，要求至少2行、每行至少2个，不重叠、不留空隙。旋转后算同一种拼法，有几种不同的排法？
- 有17张卡片，想平均分成若干组，要求至少分2组，并且每组至少2张，能做到吗？说明理由。
- 有19颗珠子和21颗珠子两种材料，分别尝试每3颗装一袋，哪一种可以恰好装完？结合质数、合数的知识说明理由。
D组｜思维提升（综合判断与有序寻找）
- 找出大于30、小于40的所有质数，并说明你是怎样排查的。
- 两个不同的质数相加等于20。如果不区分先后顺序，有哪几组？请全部写出。
四、参考答案与解析
A组｜基础认识
第1题：1、13；质
解析：13恰好只有1和13两个不同的因数，所以13是质数。
第2题：1、2、3、4、6、12；合数
解析：12的因数超过两个，除了1和12，还有2、3、4、6，因此12是合数。
第3题：质数：2；合数：9；既不是质数也不是合数：1
解析：2只有1和2两个因数；9有1、3、9三个因数；1只有一个因数。
第4题：2、3、5、7、11、13、17、19
解析：这些数都恰好有两个不同的因数。注意1不是质数，2是最小的质数。
第5题：21、25
解析：21 = 3 × 7，25 = 5 × 5，所以它们都是合数；23和29都是质数。
B组｜易错辨析
第6题：错误
解析：1只有一个因数，既不是质数也不是合数；最小的质数是2。
第7题：错误
解析：2虽然是偶数，但只有1和2两个因数，因此是质数，也是唯一的偶质数。
第8题：错误
解析：例如9是奇数，但9 = 3 × 3，有1、3、9三个不同的因数，所以9是合数。
第9题：正确
解析：大于2的偶数都能被2整除，除了1和本身之外还有因数2，因此不可能是质数。所以大于2的质数都是奇数。
第10题：错误
解析：例如3和5都是质数，但3 × 5 = 15，15有1、3、5、15四个因数，因此15是合数。实际上，两个质数的乘积一定是合数。
C组｜实际应用
第11题：3种
解析：24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6。符合“至少2行、每行至少2个”的排法有2行每行12个、3行每行8个、4行每行6个。旋转后不重复计数，共3种。
第12题：不能
解析：17是质数，只有1和17两个因数。如果要平均分组，只有分1组每组17张，或者分17组每组1张，均不符合“至少2组且每组至少2张”的要求。
第13题：21颗珠子可以，19颗珠子不可以
解析：21 = 3 × 7，是合数，能按每袋3颗装成7袋；19是质数，除了1和19以外没有其他因数，不能按每袋3颗恰好装完。
D组｜思维提升
第14题：31、37
解析：31、33、35、37、39为奇数。其中33和39都是3的倍数，35是5的倍数，因此是合数；31和37没有除1及其本身以外的因数，所以是质数。32、34、36、38都是大于2的偶数，均为合数。
第15题：两组，分别是3和17、7和13
解析：20是偶数。若其中一个质数是2，另一个数为18，不是质数；其余两个质数应是奇数。依次检验可得3 + 17 = 20、7 + 13 = 20。5 + 15虽等于20，但15是合数；11 + 9虽等于20，但9是合数。不计顺序，共2组。
五、本篇总结
认识质数与合数，核心是抓住因数的个数，而不是只看数字大小或奇偶性。
① 质数：大于1，恰好只有1和本身两个因数。
② 合数：大于1，除了1和本身还有其他因数。
③ 特别记住：1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数。
④ 判断方法：先找因数，也可以结合2、3、5的倍数特征缩小判断范围，但不能只靠奇偶或个位数字下结论。
达标标准：能够正确区分质数、合数和1，熟练识别20以内的质数，会通过找因数和倍数特征判断常见整数，并能解决简单的分组、排列和数的分类问题。
下一篇预告：质因数与分解质因数——学会将合数表示成几个质数相乘的形式。
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