第17篇｜三角形的面积：为什么底乘高还要除以2
第四专题：多边形的面积
本篇核心：理解三角形面积公式的推导过程，辨清底与对应的高，能计算面积、反求底或高，并运用面积关系解决简单问题。
上一课，我们通过剪拼，把平行四边形转化成长方形，学会了用“底×高”计算平行四边形的面积。
这次要解决一个新问题：三角形也有底和高，为什么计算面积时，不能只用底乘高，还要再除以2？
理解这个“除以2”的来历，比单纯记住公式更重要。
一、核心知识：抓住这4点
① 两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形
准备两个形状、大小完全相同的三角形，把它们拼在一起，可以得到一个平行四边形。
拼成以后：
- 平行四边形的底等于原来三角形的底。
- 平行四边形的高等于原来三角形对应的高。
- 两个完全一样的三角形，面积合起来正好是这个平行四边形的面积。
所以，一个三角形的面积，是拼成的平行四边形面积的一半。
平行四边形面积＝底×高。
因此：三角形面积＝底×高÷2。
这里的“÷2”不是硬性规定，而是因为一个三角形只占拼成的平行四边形面积的一半。
② 面积公式要用“底”和“这条底对应的高”
用S表示三角形面积，a表示底，h表示这条底对应的高：
S＝a×h÷2，也可以写成S＝ah÷2。
例如：一个三角形的底是12厘米，对应的高是7厘米。
面积：12×7÷2＝42（平方厘米）。
注意：三角形的高，是从所选底边的对角顶点向底所在直线作垂线得到的垂直距离。高不一定是三角形的另一条边；在钝角三角形中，有些高还会落在图形外面。
如果题目告诉我们某条底边长14厘米、另一条斜边长9厘米、这条底对应的高是5厘米，应当用14×5÷2，不能把9厘米的斜边直接当作高。
③ 已知面积，可以反求底或高
从三角形面积公式S＝a×h÷2可以得到：
- 高＝面积×2÷底。
- 底＝面积×2÷对应的高。
例如：一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，求对应的高。
36×2÷9＝8（厘米）。
验算：9×8÷2＝36（平方厘米）。
易错提醒：反求底或高时，不要漏掉“×2”。因为三角形面积先除以了2，反过来计算就要先乘2。
④ 等底等高的三角形面积相等，底或高变化时面积也会变化
例如：两个三角形的底都是10厘米，对应的高都是6厘米，虽然形状可能不同，它们的面积都是：
10×6÷2＝30（平方厘米）。
如果高保持不变，底变为原来的2倍，面积也变为原来的2倍。
如果要保持面积不变，底变为原来的2倍，对应的高就需要变为原来的一半。
注意：面积相等并不代表三角形的形状相同，也不代表周长相等。
二、典型例题：三种情况要会
例1｜直接计算三角形的面积
一个三角形的底是14厘米，对应的高是6厘米。它的面积是多少？
分析：已知底和对应的高，直接使用公式。
14×6÷2＝42（平方厘米）。
答案：42平方厘米。
例2｜斜边不是对应的高
一个三角形以16米的边为底，另一条斜边长10米，这条底对应的高是6米。它的面积是多少？
分析：计算面积时，必须使用16米这条底对应的6米高，不能使用10米的斜边。
16×6÷2＝48（平方米）。
答案：48平方米。
例3｜已知面积反求底
一个三角形的面积是45平方厘米，对应的高是9厘米。它的底是多少厘米？
分析：底＝面积×2÷高。
45×2÷9＝10（厘米）。
验算：10×9÷2＝45（平方厘米）。
答案：10厘米。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础掌握（牢记公式，算对面积）
- 一个三角形的底是10厘米，对应的高是6厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个三角形的底是8米，对应的高是5米。面积是多少平方米？
- 一个三角形的底是6.4厘米，对应的高是5厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个三角形的底是12.5米，对应的高是4米。面积是多少平方米？
- 一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米。对应的高是多少厘米？
B组｜易错辨析（特别注意除以2和底高对应）
- 判断并改正：“一个三角形的底是10厘米，高是4厘米，面积是10×4＝40平方厘米。”
- 一个三角形的底是14厘米，另一条斜边长9厘米，底对应的高是5厘米。小明用14×9÷2计算面积。这个方法正确吗？正确面积是多少？
- 判断并说明理由：“一个三角形与一个平行四边形等底等高，它们的面积相等。”
- 一个三角形的底是8米，对应的高是75厘米。它的面积是多少平方米？
- 判断并说明理由：“一个三角形的高不变，底变为原来的2倍，面积也会变为原来的2倍。”
C组｜实际应用（列式、计算、写清单位）
- 一个三角形花圃的底是18米，对应的高是7米。花圃的面积是多少平方米？
- 一面三角形彩旗的底是0.8米，对应的高是0.5米。制作4面这样的彩旗，一共需要多少平方米布料？（不考虑损耗）
- 一块三角形草地的面积是90平方米，底是15米。底对应的高是多少米？
D组｜思维提升（同一图形的不同底高、等积变化）
- 一个三角形以12厘米的边为底时，对应的高是7厘米。如果改用另一条长14厘米的边作底，那么新底对应的高是多少厘米？
- 一个三角形的底是10厘米，对应的高是8厘米。
（1）它的面积是多少平方厘米？
（2）如果把底改为16厘米，要使面积保持不变，对应的高应该是多少厘米？
（3）说明为什么底变长后，高需要相应变短。
四、参考答案与解析
A组｜基础掌握
第1题：30平方厘米。
解析：10×6÷2＝30（平方厘米）。三角形面积要记得除以2。
第2题：20平方米。
解析：8×5÷2＝20（平方米）。底和高都用米作单位，面积单位是平方米。
第3题：16平方厘米。
解析：6.4×5÷2＝32÷2＝16（平方厘米）。
第4题：25平方米。
解析：12.5×4÷2＝50÷2＝25（平方米）。
第5题：8厘米。
解析：高＝面积×2÷底，36×2÷9＝8（厘米）。验算：9×8÷2＝36（平方厘米）。
B组｜易错辨析
第6题：错误，正确面积是20平方厘米。
解析：10×4＝40平方厘米，算出的是等底等高的平行四边形面积。三角形面积还需要除以2，所以10×4÷2＝20（平方厘米）。
第7题：不正确，正确面积是35平方厘米。
解析：9厘米是斜边，不是14厘米这条底对应的高。应使用5厘米的高：14×5÷2＝35（平方厘米）。
第8题：错误。
解析：等底等高时，三角形的面积是平行四边形面积的一半。例如底都是12厘米、高都是6厘米，三角形面积是12×6÷2＝36平方厘米；平行四边形面积是12×6＝72平方厘米。
第9题：3平方米。
解析：先统一单位：75厘米＝0.75米。再计算8×0.75÷2＝3（平方米）。不能直接把米和厘米的数值相乘。
第10题：正确。
解析：三角形的面积＝底×高÷2。当高不变、底变为原来2倍时，算出的面积也变为原来的2倍。例如原来底为5厘米、高为8厘米，面积20平方厘米；底变为10厘米后，面积40平方厘米。
C组｜实际应用
第11题：63平方米。
解析：18×7÷2＝63（平方米）。
答：花圃的面积是63平方米。
第12题：0.8平方米。
解析：一面彩旗的面积是0.8×0.5÷2＝0.2（平方米），4面共需0.2×4＝0.8（平方米）。
答：不考虑损耗，一共需要0.8平方米布料。
第13题：12米。
解析：高＝面积×2÷底，90×2÷15＝12（米）。
答：底对应的高是12米。
D组｜思维提升
第14题：6厘米。
解析：同一个三角形，无论选哪条边作底，面积不变。先求面积：12×7÷2＝42（平方厘米）。再用另一条14厘米的边作底，对应的高是42×2÷14＝6（厘米）。注意换底必须换对应的高。
第15题：（1）40平方厘米；（2）5厘米；（3）面积不变时，底变长，需要用更短的高保持“底×高”的乘积不变。
解析：原面积10×8÷2＝40（平方厘米）。新底为16厘米时，对应的高＝40×2÷16＝5（厘米）。验算：16×5÷2＝40（平方厘米），面积确实没有改变。
五、本篇总结
三角形的面积，最重要的是理解“为什么除以2”，并找到正确对应的底和高。
① 理解推导：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成图形面积的一半。
② 牢记公式：三角形的面积＝底×对应的高÷2，字母式为S＝ah÷2。
③ 区分底与高：斜边不一定是高；换底计算时，必须使用新底对应的高。
④ 灵活反求：已知面积和底，求高要用“面积×2÷底”；已知面积和高，求底要用“面积×2÷高”。
⑤ 理解变化：等底等高的三角形面积相等；面积一定时，底与对应的高需要配合变化。
达标标准：能解释面积公式中“÷2”的来历，正确计算三角形面积，准确处理底与高的对应关系，会反求底或高，能解决简单的生活问题。
下一篇预告：梯形的面积——理解为什么要把上底与下底相加，再乘高除以2。
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