第05篇｜因数与倍数：理解关系，学会有序寻找
第二专题：因数与倍数
本篇核心：理解因数和倍数的相互关系，掌握找一个数的因数与倍数的方法，能运用这些知识解决简单问题。
从这一篇开始，我们进入第二个核心专题——因数与倍数。
这是以后学习分数约分、通分，以及理解数的性质的重要基础。学习时，不要只记住“谁是谁的因数”，更要明白它们为什么存在这样的关系。
一、核心知识：抓住这4点
① 因数和倍数，是两个数之间的关系
例如：3 × 4 = 12。
在这个算式中：
- 3和4是12的因数。
- 12是3的倍数，也是4的倍数。
还可以这样理解：12 ÷ 3 = 4，没有余数，因此3是12的因数，12是3的倍数。
注意：因数和倍数是相互联系的，不能只说“3是因数”或“12是倍数”，要说清楚谁是谁的因数、谁是谁的倍数。
本篇讨论的因数和倍数，都是在非0自然数（1、2、3、4……）范围内研究的。
② 找一个数的因数，要成对寻找、不重不漏
例如：找出24的全部因数。
可以依次写出：
- 1 × 24 = 24
- 2 × 12 = 24
- 3 × 8 = 24
- 4 × 6 = 24
因此，24的全部因数是：1、2、3、4、6、8、12、24。
方法：从1开始依次尝试，用乘法或没有余数的除法，成对找出因数。每找到一对就记录下来，避免遗漏或重复。
一个非0自然数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
③ 找一个数的倍数，要从它的1倍开始
例如：找出7的前5个倍数。
- 7 × 1 = 7
- 7 × 2 = 14
- 7 × 3 = 21
- 7 × 4 = 28
- 7 × 5 = 35
所以，7的前5个倍数是：7、14、21、28、35。
一个非0自然数的倍数有无限多个，最小的正倍数是它本身，没有最大的倍数。
④ 判断因数关系，可以看能否除尽
判断4是不是18的因数：
18 ÷ 4 = 4……2，有余数，所以4不是18的因数。
判断6是不是18的因数：
18 ÷ 6 = 3，没有余数，所以6是18的因数，18是6的倍数。
易错提醒：本篇研究的是非0自然数之间的因数与倍数关系，不能因为3 × 1.5 = 4.5，就说“3是4.5的因数”。
二、典型例题：三类情况要会
例1｜根据乘法算式说清关系
已知5 × 6 = 30，说出因数和倍数关系。
思路：5和6相乘得到30，说明5和6都能把30正好分成若干份。
答案：5和6是30的因数；30是5的倍数，也是6的倍数。
例2｜有序找出一个数的全部因数
找出18的全部因数。
思路：1 × 18 = 18，2 × 9 = 18，3 × 6 = 18。
答案：1、2、3、6、9、18。
检查：从小到大排列，看看有没有遗漏或重复。
例3｜在指定范围内找倍数
找出50以内8的所有正倍数。
思路：依次计算8 × 1、8 × 2、8 × 3……，直到结果超过50。
答案：8、16、24、32、40、48。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础认识（先把概念弄清楚）
- 因为4 × 7 = 28，所以（ ）和（ ）是28的因数；28是（ ）和（ ）的倍数。
- 因为3 × 5 = 15，所以15是3的（ ），5是15的（ ）。
- 因为12 ÷ 4 = 3，没有余数，所以4是12的（ ），12是4的（ ）。
- 写出20的全部因数。
- 写出6的前5个正倍数。
B组｜易错辨析（判断并说明理由）
- 判断：5是18的因数。
- 判断：1是每一个非0自然数的因数。
- 判断：一个非0自然数的因数有无限多个。
- 判断：因为3 × 1.5 = 4.5，所以3是4.5的因数。
- 从2、4、6、9中，选出18的所有因数。
C组｜实际应用（把关系用起来）
- 24名学生分组活动，每组人数相同、恰好分完。如果每组人数不少于2人、不超过8人，有哪几种分法？（写出每组人数）
- 有36张卡片，分别尝试平均装入6袋、7袋或9袋。哪些袋数能恰好装完？恰好装完时，每袋各有多少张？
- 礼堂每排放8把椅子，总椅子数不少于30把、不超过50把。如果每排都坐满，总椅子数可能是多少？
D组｜思维提升（学会综合判断）
- 一个非0自然数既是20的因数，又是5的倍数。这个数可能是多少？
- 用24个同样大小的正方形拼成一个长方形，要求不重叠、不留空隙。若长和宽都用正方形的边长作为单位，并且旋转后算同一种拼法，一共有几种不同的长宽组合？请全部写出来。
四、参考答案与解析
A组｜基础认识
第1题：4、7；4、7
解析：4 × 7 = 28，4和7都是28的因数，28分别是4和7的倍数。
第2题：倍数；因数
解析：15是3的倍数，5是15的因数。不能把两个概念说反。
第3题：因数；倍数
解析：12除以4没有余数，因此4是12的因数，12是4的倍数。
第4题：1、2、4、5、10、20
解析：1 × 20、2 × 10、4 × 5都等于20，成对记录即可。
第5题：6、12、18、24、30
解析：分别用6乘1、2、3、4、5，得到它的前5个正倍数。
B组｜易错辨析
第6题：错误
解析：18 ÷ 5不能得到整数商且没有余数，因此5不是18的因数。
第7题：正确
解析：任意一个非0自然数乘1，都等于它本身，所以1是每一个非0自然数的因数。
第8题：错误
解析：一个非0自然数的因数个数有限；它的倍数才有无限多个。
第9题：错误
解析：本篇讨论的因数与倍数限定在非0自然数范围内。4.5不是自然数，不能按这里的定义说3是4.5的因数。
第10题：2、6、9
解析：18 ÷ 2 = 9，18 ÷ 6 = 3，18 ÷ 9 = 2，都能除尽；18 ÷ 4有余数。
C组｜实际应用
第11题：每组2人、3人、4人、6人或8人
解析：24的因数是1、2、3、4、6、8、12、24，其中符合“至少2人、至多8人”的是2、3、4、6、8。对应的组数分别是12组、8组、6组、4组、3组。
第12题：6袋或9袋可以恰好装完
解析：36 ÷ 6 = 6（张），36 ÷ 9 = 4（张）；36 ÷ 7有余数。所以分成6袋时每袋6张，分成9袋时每袋4张。
第13题：32把、40把或48把
解析：8的正倍数依次是8、16、24、32、40、48、56……，其中符合不少于30且不超过50的有32、40、48。
D组｜思维提升
第14题：5、10、20
解析：20的因数有1、2、4、5、10、20；其中同时是5的倍数的有5、10、20。
第15题：4种
解析：把24写成两个非0自然数相乘的形式，并将旋转后相同的长方形只计一次：
- 长24、宽1
- 长12、宽2
- 长8、宽3
- 长6、宽4
所以一共有4种不同的长宽组合。这个问题说明，成对寻找因数还能帮助我们解决图形排列问题。
五、本篇总结
学习因数与倍数，最重要的是建立清楚的数与数之间的关系。
① 理解关系：如果两个非0自然数相乘等于第三个非0自然数，那么前两个数是积的因数，积是这两个数的倍数。
② 找因数：从1开始成对寻找，做到不重不漏；一个数的因数个数有限。
③ 找倍数：依次乘1、2、3……；一个数的正倍数有无限多个。
④ 会判断：用乘法或没有余数的除法检查两个数是否有因数与倍数关系。
达标标准：能够正确说明因数与倍数的关系，完整找出一个数的所有因数，按要求找出若干个倍数，并能解决简单的分组、排列和数量判断问题。
下一篇预告：2、3、5的倍数特征——学会快速判断一个数能否被2、3、5整除。
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