第19篇｜组合图形的面积：掌握分割与添补，化复杂为简单

前面三篇，我们依次学习了平行四边形、三角形和梯形的面积。生活中的花坛、广告牌和建筑平面却不一定是单一的图形。

面对组合图形，不必寻找一条全新的面积公式。关键是把它转化成已经会计算的简单图形。

一、核心知识：抓住这4点

① 分割法：把一个组合图形分成几块，再相加

如果一个组合图形可以分成两个或多个不重叠的简单图形，且没有遗漏，那么：

组合图形的面积＝各部分面积之和。

例如，一块“房屋形”纸板由下方长方形和上方三角形组成：

• 长方形长12厘米、高6厘米。
• 三角形位于长方形上方，底边与长方形上边完全重合，底长12厘米，对应的高4厘米。
• 两部分内部不重叠。

长方形面积：12×6＝72（平方厘米）。

三角形面积：12×4÷2＝24（平方厘米）。

总面积：72＋24＝96（平方厘米）。

注意：共用的边不产生面积，计算时不能把某一块重复算两次。

② 添补法：先看作一个大图形，再减去缺少的部分

有些图形可以看成一个大长方形挖去了一个小长方形。

例如，一块长15厘米、宽10厘米的长方形纸板，从右上角剪去一个长5厘米、宽4厘米的小长方形。

• 原长方形面积：15×10＝150（平方厘米）。
• 被剪去部分面积：5×4＝20（平方厘米）。
• 剩余面积：150－20＝130（平方厘米）。

所以：组合图形的面积＝外围大图形面积－缺少部分面积。

这里的“添补”是为了计算方便，不能把补出来的部分也算进原图形。

③ 先认清图形，再找全必要的长度

常用面积公式：

• 长方形面积＝长×宽。
• 正方形面积＝边长×边长。
• 平行四边形面积＝底×对应的高。
• 三角形面积＝底×对应的高÷2。
• 梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。

如果一道题没有直接给出某一段的长度，可以利用总长度与已知部分求出。

例如：长方形总长20厘米，左上方保留的一段长13厘米，那么右上角被剪去部分的宽为20－13＝7（厘米）。

计算组合图形时，先检查每个小图形所需的底、高、长、宽是否齐全；不够时先求缺少的长度。

④ 同一图形可能有不同算法，要检查是否重算或漏算

例如，一个长方形的右侧紧贴着一个三角形，两部分只共用一条边，内部没有重叠。

• 长方形长10米、宽6米。
• 三角形以长方形右侧6米的边为底，对应的高为4米。

面积＝10×6＋6×4÷2＝72（平方米）。

验算时可以想一想：组合图形面积一定大于其中任何一个组成部分的面积，也不能大于一个确实包住整个图形的外围图形面积。

二、典型例题：三种解题方法要会

例1｜分割成两个图形，分别求面积

一块标志牌由一个长方形和上方一个三角形拼成。长方形长12厘米、高6厘米；三角形的底与长方形上边完全重合，对应的高为4厘米。两部分没有重叠。求标志牌面积。

思路：长方形面积加三角形面积。

12×6＋12×4÷2＝72＋24＝96（平方厘米）。

答案：96平方厘米。

例2｜从大图形里减去缺少的部分

一块长15厘米、宽10厘米的长方形纸板，从右上角剪去长5厘米、宽4厘米的小长方形。剩余面积是多少？

思路：先求整个长方形面积，再减去剪去部分的面积。

15×10－5×4＝150－20＝130（平方厘米）。

答案：130平方厘米。

例3｜用梯形和长方形组成新图形

一个图形由下方长方形和上方梯形组成。长方形长10米、高3米；梯形的下底与长方形上边完全重合，长10米，上底长6米，高4米。求整个图形的面积。

思路：分割成一个长方形和一个梯形。

长方形面积：10×3＝30（平方米）。

梯形面积：（6＋10）×4÷2＝32（平方米）。

总面积：30＋32＝62（平方米）。

答案：62平方米。

三、专项训练（建议先独立完成）

本篇不依赖插图。每道题都已写明图形的组成、相邻位置及尺寸，建议边读题边画草图。

A组｜基础掌握（5题）

1. 一个图形由下方长方形和上方三角形组成，内部不重叠。长方形长8厘米、高5厘米；三角形的底与长方形上边完全重合，高3厘米。求整个图形的面积。

1. 一块长12厘米、宽9厘米的长方形纸板，从右下角剪去长4厘米、宽3厘米的小长方形。求剩余面积。

1. 一个图形由下方长方形和上方梯形组成，内部不重叠。长方形长6厘米、高7厘米；梯形下底与长方形上边完全重合，上底长3厘米，高4厘米。求总面积。

1. 一块长10米、宽6米的长方形地块，其右侧紧贴着一块三角形地块。三角形以长方形右侧6米的边为底，对应的高为3米。两块地内部不重叠。求总面积。

1. 一块长15米、宽8米的长方形地块，从左下角挖去一个长6米、宽3米的小长方形。求剩余面积。

B组｜易错辨析（5题）

1. 一块图形由长10厘米、宽6厘米的长方形和右侧一个三角形组成，内部不重叠。三角形以长方形右侧6厘米的边为底，高4厘米。小明算成10×6＋6×4＝84（平方厘米）。他算得对吗？正确面积是多少？

1. 一块图形由长12厘米、高5厘米的长方形和上方一个三角形组成，两部分不重叠。三角形的底与长方形上边重合，高4厘米。小丽算成12×5＋12×4＝108（平方厘米）。请判断并改正。

1. 一个图形由下方长方形和上方梯形组成。长方形长10米、高3米；梯形下底与长方形上边重合，上底6米、高4米。小刚算成10×3＋（6＋10）×4＝94（平方米）。请判断并改正。

1. 一块长20厘米、宽12厘米的长方形纸板，在内部挖去一个长8厘米、宽5厘米的长方形孔。有人认为剩余面积等于20×12＋8×5＝280（平方厘米）。请判断并改正。

1. 一块长10米、宽6米的长方形地块，右侧紧贴着另一块长方形地块，两块地内部不重叠。右侧长方形沿竖直方向的边长3米，向右伸出的宽为200厘米。求组合地块的总面积（平方米）。

C组｜实际应用（3题）

1. 学校有一块长18米、宽12米的长方形花坛，沿其中一个角剪去一块直角三角形区域。该三角形的两条直角边分别沿花坛相邻两边，长6米和4米。剩余花坛面积是多少平方米？

1. 一块展示板由下方长方形和上方三角形组成，内部不重叠。长方形宽2.4米、高1.5米；上方三角形的底与长方形上边完全重合，高0.8米。制作5块相同的展示板共需多少平方米材料？（不考虑损耗）

1. 一块绿地由下方长方形和上方梯形组成，内部不重叠。长方形长14米、宽10米；梯形的下底与长方形上边完全重合，上底8米，高6米。绿地的总面积是多少平方米？

D组｜思维提升（2题）

1. 一块长20厘米、宽12厘米的长方形纸板，从右上角剪去一个小长方形。剪去后，纸板上方剩余的水平边长13厘米；剪去部分沿右边向下的深度为4厘米。求剩余面积，并说明缺少的一个长度怎样求出。

1. 一块图形由一个长18米、宽10米的长方形和右侧一个三角形组成，内部不重叠。三角形以长方形右侧10米的边为底，顶点位于这条边中点的正右方6米处。

（1）用分割法求组合图形面积。

（2）用一个长24米、宽10米的外围长方形减去右上角和右下角两个三角形，再求一次面积。

（3）说明为什么两种方法的结果相同。

四、参考答案与解析

A组｜基础掌握

第1题：52平方厘米。

解析：长方形面积为8×5＝40（平方厘米），上方三角形面积为8×3÷2＝12（平方厘米），总面积40＋12＝52（平方厘米）。

第2题：96平方厘米。

解析：整个长方形面积为12×9＝108（平方厘米），剪去部分面积为4×3＝12（平方厘米），剩余108－12＝96（平方厘米）。

第3题：60平方厘米。

解析：长方形面积为6×7＝42（平方厘米），梯形面积为（3＋6）×4÷2＝18（平方厘米），总面积42＋18＝60（平方厘米）。

第4题：69平方米。

解析：长方形面积为10×6＝60（平方米），三角形面积为6×3÷2＝9（平方米），合计60＋9＝69（平方米）。

第5题：102平方米。

解析：完整长方形面积为15×8＝120（平方米），挖去部分面积为6×3＝18（平方米），剩余120－18＝102（平方米）。

B组｜易错辨析

第6题：错误，正确面积是72平方厘米。

解析：小明漏掉了计算三角形面积时的“÷2”。正确列式为10×6＋6×4÷2＝60＋12＝72（平方厘米）。

第7题：错误，正确面积是84平方厘米。

解析：长方形面积为12×5＝60（平方厘米）；上方三角形面积应为12×4÷2＝24（平方厘米），不是48平方厘米。总面积60＋24＝84（平方厘米）。

第8题：错误，正确面积是62平方米。

解析：梯形的面积要除以2。正确列式为10×3＋（6＋10）×4÷2＝30＋32＝62（平方米）。

第9题：错误，正确剩余面积是200平方厘米。

解析：内部挖空的部分必须从原面积中减去，而不是加上。20×12－8×5＝240－40＝200（平方厘米）。

第10题：66平方米。

解析：先统一单位，200厘米＝2米。左侧长方形面积为10×6＝60（平方米），右侧长方形面积为3×2＝6（平方米），两部分内部不重叠，总面积60＋6＝66（平方米）。

C组｜实际应用

第11题：204平方米。

解析：原花坛面积为18×12＝216（平方米）。剪去的直角三角形面积为6×4÷2＝12（平方米）。剩余216－12＝204（平方米）。

答：剩余花坛面积是204平方米。

第12题：22.8平方米。

解析：一块展示板的长方形部分面积为2.4×1.5＝3.6（平方米），三角形部分面积为2.4×0.8÷2＝0.96（平方米）。一块面积3.6＋0.96＝4.56（平方米），5块共4.56×5＝22.8（平方米）。

答：不考虑损耗，共需22.8平方米材料。

第13题：206平方米。

解析：长方形面积为14×10＝140（平方米）；梯形面积为（8＋14）×6÷2＝66（平方米）；总面积140＋66＝206（平方米）。

答：绿地的总面积是206平方米。

D组｜思维提升

第14题：212平方厘米。

解析：被剪去的小长方形宽为20－13＝7（厘米），高为4厘米，面积7×4＝28（平方厘米）。原长方形面积20×12＝240（平方厘米），剩余240－28＝212（平方厘米）。

答：剩余面积是212平方厘米。解题前要先从总长度中减去已知部分，求出剪去区域的宽。

第15题：（1）210平方米；（2）210平方米；（3）两种方法计算的是同一个组合图形的面积。

解析：

分割法：长方形面积18×10＝180（平方米），右侧三角形的底为10米、对应的高为6米，面积10×6÷2＝30（平方米）。总面积180＋30＝210（平方米）。

添补法：外围长方形面积24×10＝240（平方米）。因三角形顶点与原长方形右侧中点处在同一高度，右上角与右下角各有一个直角三角形空缺，它们的两条直角边分别长6米和5米，各自面积6×5÷2＝15（平方米）。所以组合图形面积为240－15－15＝210（平方米）。

两种方法都是在不遗漏、不重复的前提下求同一块区域的面积，所以结果相同。

五、本篇总结

组合图形的面积，关键是把复杂图形转化为已经学过的简单图形，再选择合理的计算顺序。

① 学会分割：将图形分成不重叠、不遗漏的简单图形，分别求面积后相加。

② 学会添补：先求外围大图形面积，再减去不属于原图形的部分。

③ 找准条件：辨清长、宽、底和对应的高；遇到缺少的长度，先用总长度与部分长度求出。

④ 避免易错：三角形、梯形不要漏掉“÷2”；挖空区域要相减；长度单位要先统一。

⑤ 学会验算：同一图形可以尝试不同分割方式，利用两种算法比较，检查是否重复计算或遗漏区域。

达标标准：能够根据文字描述画出简单的组合图形示意图，独立选择分割法或添补法，正确列式计算面积，并能解释每一步对应的图形部分。

下一篇预告：多边形面积综合应用——综合运用平行四边形、三角形、梯形与组合图形的面积知识。

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