第11篇｜因数与倍数综合应用：辨清条件，用对方法

前面六篇，我们已经学会了寻找因数和倍数，掌握2、3、5的倍数特征，认识质数与合数，并练习了分解质因数、最大公因数和最小公倍数。

这一篇是第二专题的综合巩固。重点不再是记住某个定义，而是回答一个更重要的问题：遇到不同类型的题目，怎样判断该用哪一种知识？

一、核心知识：把握这4个关键

① 先判断数的性质，再决定怎样计算

判断一个数是不是2、3、5的倍数，可以先观察：

• 是2的倍数：个位是0、2、4、6、8。
• 是5的倍数：个位是0或5。
• 是3的倍数：各个数位上的数字之和是3的倍数。

例如，判断270的特点：

• 个位是0，所以270是2和5的倍数。
• 2＋7＋0＝9，9是3的倍数，所以270也是3的倍数。

因此，270同时是2、3、5的倍数。

还要注意：质数只有1和它本身两个因数；合数除了1和它本身，还有其他因数。1既不是质数，也不是合数。

② 分解质因数，可以帮助看清数的组成

例如：

24＝2×2×2×3

36＝2×2×3×3

把合数写成质数相乘的形式，可以清楚地看到两个数共同拥有的质因数，以及各自还需要哪些质因数。

易错提醒：分解质因数时，结果中的每个因数都必须是质数；相同的质因数出现几次，就要写几次。

③ “共同分配、尽可能多或尽可能长”——考虑最大公因数

例如：有24支红笔和36支蓝笔，全部装进相同的礼品袋。每袋红笔数量相同，蓝笔数量也相同，要使袋数尽可能多。

袋数必须同时是24和36的因数，所以求最大公因数。

24和36的最大公因数是12。

因此最多装12袋，每袋红笔24÷12＝2（支），蓝笔36÷12＝3（支）。

关键：分配的份数要能同时整除几种物品的数量，并且要求份数最多。

④ “再次同时发生、满足不同周期”——考虑最小公倍数

例如：两盏灯在同一时刻闪亮，甲灯每6秒闪亮一次，乙灯每8秒闪亮一次。下一次同时闪亮要等多少秒？

经过的秒数既要是6的倍数，又要是8的倍数，所以求最小公倍数。

6和8的最小公倍数是24。

因此，下一次同时闪亮要等24秒。

记住区分：

• 最大公因数：在共同的因数里找最大的一个。
• 最小公倍数：在共同的正倍数里找最小的一个。

这两种方法解决的问题不同，不能只看到“最多”或“最少”两个字，就不分析题意直接套用。

二、典型例题：三类综合问题要会

例1｜倍数特征与分解质因数结合

判断210是不是2、3、5的倍数，并把210分解质因数。

思路：210的个位是0，因此是2和5的倍数；2＋1＋0＝3，因此也是3的倍数。

分解质因数：210＝21×10＝3×7×2×5＝2×3×5×7。

答案：210同时是2、3、5的倍数；210＝2×3×5×7。

例2｜同一组数，分别求最大公因数和最小公倍数

求24和36的最大公因数、最小公倍数。

思路：

24＝2×2×2×3

36＝2×2×3×3

最大公因数：取两数共同拥有的质因数，2×2×3＝12。

最小公倍数：每种质因数都取足以组成两个数的最多次数，2×2×2×3×3＝72。

答案：最大公因数是12，最小公倍数是72。

例3｜从问题条件判断该用什么方法

有两根绳子，分别长30厘米和45厘米。现在把它们剪成长度相同、尽可能长的小段，而且没有剩余。每段最长多少厘米？

思路：每段长度必须同时是30和45的因数；要让每段尽可能长，就求最大公因数。

30＝2×3×5，45＝3×3×5，共同的质因数是3和5。

3×5＝15。

答案：每段最长15厘米。

三、专项训练（建议先独立完成）

A组｜基础回顾（5题）

1. 判断126分别是不是2、3、5的倍数，并说明理由。

1. 把1、2、15、17分别归入“质数”“合数”“既不是质数也不是合数”三类。

1. 把84分解质因数。

1. 求16和24的最大公因数。

1. 求6和15的最小公倍数。

B组｜易错辨析（5题）

1. 判断并说明理由：“个位是0的数，一定同时是2、3、5的倍数。”

1. 判断并说明理由：“39是奇数，所以39是质数。”

1. 判断并改正：“48＝2×2×2×6，已经完成分解质因数。”

1. 判断并说明理由：“12和18的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6，最小公倍数是36。”

1. 判断并改正：“8和12的最小公倍数是8×12＝96。”

C组｜实际应用（3题）

1. 有36支红铅笔和48支蓝铅笔，要装成尽可能多的相同文具包。每包红铅笔数量相同、蓝铅笔数量也相同，而且全部装完。最多能装多少包？每包各装几支？

1. 两辆校车上午8:10同时从总站发车。甲车每9分钟发一班，乙车每15分钟发一班，之后都按固定间隔持续发车。下一次同时发车是什么时候？

1. 一批卡片按每包8张或每包12张包装，都能恰好包完。卡片总数大于60张、小于100张，可能有多少张？其中最少是多少张？

D组｜思维提升（2题）

1. 用0、3、4、5四张数字卡片各一次组成一个四位数，要求这个数同时是2、3、5的倍数。一共能组成多少个不同的四位数？最大的和最小的分别是多少？

1. 两个不同的正整数的最大公因数是6，最小公倍数是72，其中一个数是18。另一个数是多少？请说明推理过程。

四、参考答案与解析

A组｜基础回顾

第1题：126是2和3的倍数，不是5的倍数。

解析：126的个位是6，所以是2的倍数；1＋2＋6＝9，9是3的倍数，所以126是3的倍数；个位不是0或5，所以不是5的倍数。

第2题：质数是2、17；合数是15；既不是质数也不是合数的是1。

解析：2和17都只有两个不同的因数；15＝3×5，除1和15外还有其他因数；1只有一个因数。

第3题：84＝2×2×3×7。

解析：84＝2×42＝2×2×21＝2×2×3×7，最后每个因数都是质数。

第4题：8。

解析：16的因数有1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。最大公因数是8。

第5题：30。

解析：6＝2×3，15＝3×5，最小公倍数需要2、3、5各一个，所以是2×3×5＝30。

B组｜易错辨析

第6题：错误。

解析：个位是0，只能保证这个数是2和5的倍数，不能保证是3的倍数。例如10的个位是0，但1＋0＝1，不是3的倍数。

第7题：错误。

解析：39虽然是奇数，但3＋9＝12，39是3的倍数；39＝3×13，所以39是合数。奇数不一定是质数。

第8题：错误。正确结果：48＝2×2×2×2×3。

解析：原式中的6是合数，不能作为最后的质因数；还需把6分解为2×3。

第9题：正确。

解析：12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18，共同的因数是1、2、3、6，最大为6。12＝2×2×3，18＝2×3×3，所以最小公倍数为2×2×3×3＝36。

第10题：错误。正确结果：8和12的最小公倍数是24。

解析：8＝2×2×2，12＝2×2×3。最小公倍数取三个2和一个3，即2×2×2×3＝24。96虽然也是公倍数，但不是最小的。

C组｜实际应用

第11题：最多12包；每包3支红铅笔、4支蓝铅笔。

解析：包数必须同时是36和48的因数。36和48的最大公因数是12，因此最多装12包。

36÷12＝3（支），48÷12＝4（支）。

答：最多12包，每包3支红铅笔、4支蓝铅笔。

第12题：上午8:55。

解析：两车下一次同时发车需要经过9和15的最小公倍数。9＝3×3，15＝3×5，最小公倍数是3×3×5＝45（分钟）。

8:10再过45分钟是8:55。

答：下一次同时发车是上午8:55。

第13题：可能有72张或96张；最少72张。

解析：卡片总数必须是8和12的公倍数。8和12的最小公倍数是24，它们的正公倍数有24、48、72、96、120……其中大于60且小于100的只有72和96。

答：可能有72张或96张，其中最少是72张。

D组｜思维提升

第14题：一共6个；最大5430，最小3450。

解析：同时是2和5的倍数，个位必须为0。四张卡片的数字和是0＋3＋4＋5＝12，是3的倍数，因此其他三张卡片无论怎样排列都符合3的倍数特征。

符合条件的数有：3450、3540、4350、4530、5340、5430。

答：一共6个，最大5430，最小3450。

第15题：24。

解析：另一个数必须是最大公因数6的倍数，也必须是最小公倍数72的因数。因此，可能的数先从6、12、18、24、36、72中寻找。

其中，18和24的最大公因数是6，最小公倍数是72，完全符合题意。其他候选数不能同时满足这两个条件。

答：另一个数是24。

五、本篇总结

“因数与倍数”并不是几个孤立的知识点，它们之间有清楚的联系：

① 倍数特征：先用2、3、5的特征快速判断数能否被相应的数整除。

② 质数与质因数：理解整数的组成，能把合数分解为质数相乘的形式。

③ 最大公因数：解决共同分配、等长切分等问题，找的是“共同因数中最大的一个”。

④ 最小公倍数：解决周期重合、按不同规格恰好分完等问题，找的是“共同倍数中最小的一个”。

⑤ 审题是关键：先看清题目需要“分成相同的份”还是“找到共同的周期”，再选择方法，最后检查结果是否满足全部条件。

达标标准：能熟练判断数的基本性质，完成常见合数的质因数分解；能求最大公因数和最小公倍数；能在实际问题中独立选对方法，并说明理由。

第二专题小结：至此，我们已完成“因数与倍数”的核心知识训练。下一篇进入第三专题“用字母表示数和数量关系”，从用字母表示数开始，逐步建立代数思维。

粒粒学｜让每一个核心知识点，都真正学懂、练会。