第18篇｜梯形的面积：理解上下底之和，掌握面积公式
第四专题：多边形的面积
本篇核心：理解梯形面积公式的推导过程，正确辨认上底、下底和高，掌握面积计算及反求高、底的方法，并能解决简单的实际问题。
前两篇，我们学习了平行四边形和三角形的面积，发现一个重要方法：把新图形转化为已经学过的图形，再推导出面积公式。
这一篇要研究梯形。梯形有两条互相平行的边，分别叫上底和下底。为什么计算面积时，要先把上底与下底相加，再乘高，最后除以2？
一、核心知识：抓住这4点
① 两个完全一样的梯形，可以拼成一个平行四边形
准备两个形状、大小完全相同的梯形，把其中一个旋转后与另一个拼在一起，可以拼成一个平行四边形。
拼成以后：
- 平行四边形的底，等于原梯形的上底与下底之和。
- 平行四边形的高，等于原梯形的高。
- 拼成的平行四边形由两个完全一样的梯形组成，所以一个梯形的面积是它的一半。
平行四边形的面积＝底×高。
因此，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。
这里的“÷2”，来自两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，而不是随意规定的计算步骤。
② 找准上底、下底和高，才能正确代入公式
用S表示梯形面积，a表示上底，b表示下底，h表示高：
S＝（a＋b）×h÷2。
例如：一个梯形的上底是8厘米，下底是14厘米，高是6厘米。
面积：（8＋14）×6÷2＝66（平方厘米）。
注意：
- 上底和下底是梯形互相平行的两条边。它们的名称取决于图形的摆放方式，不能只按长短区分。
- 高是两条平行底边之间的垂直距离，不是梯形的斜腰。
- 计算时先把两底相加，不能漏写括号，也不能漏除以2。
③ 已知面积，也能反求高或其中一条底
根据S＝（a＋b）×h÷2，可以得到：
- 高＝面积×2÷（上底＋下底）。
- 上底与下底之和＝面积×2÷高。
- 已知一条底时，另一条底＝面积×2÷高－已知的那条底。
例如：一个梯形面积是84平方厘米，上底8厘米，下底13厘米，求高。
高＝84×2÷（8＋13）＝168÷21＝8（厘米）。
验算：（8＋13）×8÷2＝84（平方厘米）。
易错提醒：反求高或底时不要忘记先把面积乘2；所有长度单位要先统一。
④ 高相等、两底之和相等的梯形，面积相等
例如：
- 梯形甲：上底6厘米、下底14厘米、高5厘米。
- 梯形乙：上底8厘米、下底12厘米、高5厘米。
甲的面积：（6＋14）×5÷2＝50（平方厘米）。
乙的面积：（8＋12）×5÷2＝50（平方厘米）。
虽然它们的上底、下底不相同，但两底之和都等于20厘米，而且高相同，所以面积相等。
注意：面积相等，不代表两个梯形的形状、周长也相同。
二、典型例题：三种情况要会
例1｜直接计算梯形面积
一个梯形的上底是8厘米，下底是14厘米，高是6厘米。它的面积是多少？
思路：先求两底之和，再乘高，最后除以2。
（8＋14）×6÷2＝66（平方厘米）。
答案：66平方厘米。
例2｜辨清斜腰与高
一个梯形的上底是6米，下底是12米，一条斜腰长7米，高是4米。它的面积是多少？
思路：面积公式中的高是两底间的垂直距离，应使用4米，不能用7米的斜腰。
（6＋12）×4÷2＝36（平方米）。
答案：36平方米。
例3｜已知面积反求高
一个梯形的面积是84平方厘米，上底8厘米，下底13厘米。它的高是多少？
思路：高＝面积×2÷（上底＋下底）。
84×2÷（8＋13）＝8（厘米）。
验算：（8＋13）×8÷2＝84（平方厘米）。
答案：8厘米。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础计算（5题）
- 一个梯形的上底是5厘米，下底是9厘米，高是4厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个梯形的上底是7米，下底是13米，高是6米。面积是多少平方米？
- 一个梯形的上底是3.5厘米，下底是6.5厘米，高是4厘米。面积是多少平方厘米？
- 一个梯形的上底是12米，下底是18米，高是5米。面积是多少平方米？
- 一个梯形的上底是9厘米，下底是15厘米，高是8厘米。面积是多少平方厘米？
B组｜易错辨析（5题）
- 一个梯形的上底是8厘米，下底是12厘米，高是5厘米。小明写出：8＋12×5÷2＝38（平方厘米）。他的列式正确吗？请改正。
- 判断并改正：“一个梯形的上底是6厘米，下底是14厘米，高是5厘米，面积是（6＋14）×5＝100平方厘米。”
- 一个梯形的上底是8厘米，下底是16厘米，一条斜腰长10厘米，高是6厘米。它的面积是多少平方厘米？
- 判断并说明理由：“两个梯形的高都是5厘米，上底与下底的长度之和都是18厘米，即使形状不同，它们的面积也相等。”
- 一个梯形的上底是120厘米，下底是80厘米，高是1米。它的面积是多少平方米？
C组｜实际应用（3题）
- 一块梯形草坪的上底是12米，下底是20米，高是9米。这块草坪的面积是多少平方米？
- 一块梯形广告牌的上底是1.2米，下底是2.8米，高是1.5米。制作4块这样的广告牌，所需材料的总面积是多少平方米？（不考虑损耗）
- 一块梯形菜地的面积是96平方米，上底是10米，下底是14米。这块菜地的高是多少米？
D组｜思维提升（2题）
- 一个梯形的面积是90平方厘米，上底是8厘米，高是6厘米。它的下底是多少厘米？请写出计算过程并验算。
- 一个梯形的上底是7厘米，下底是17厘米，高是8厘米。
（1）原来梯形的面积是多少平方厘米？
（2）保持高不变，上底增加3厘米、下底减少3厘米，新的梯形面积是多少平方厘米？
（3）为什么上、下底都发生了变化，面积却可能不变？
四、参考答案与解析
A组｜基础计算
第1题：28平方厘米。
解析：（5＋9）×4÷2＝14×4÷2＝28（平方厘米）。
第2题：60平方米。
解析：（7＋13）×6÷2＝20×6÷2＝60（平方米）。
第3题：20平方厘米。
解析：（3.5＋6.5）×4÷2＝10×4÷2＝20（平方厘米）。
第4题：75平方米。
解析：（12＋18）×5÷2＝30×5÷2＝75（平方米）。
第5题：96平方厘米。
解析：（9＋15）×8÷2＝24×8÷2＝96（平方厘米）。
B组｜易错辨析
第6题：不正确，正确面积是50平方厘米。
解析：应先将上底和下底相加，所以必须加括号。正确算式是（8＋12）×5÷2＝50（平方厘米）。小明先算了12×5，改变了运算顺序。
第7题：错误，正确面积是50平方厘米。
解析：（6＋14）×5＝100平方厘米，得到的是用两个完全一样的梯形拼成的平行四边形的面积。原梯形面积还要除以2，即100÷2＝50（平方厘米）。
第8题：72平方厘米。
解析：10厘米是斜腰，不是高。要用两底之和乘6厘米的高再除以2：（8＋16）×6÷2＝72（平方厘米）。
第9题：正确。
解析：梯形面积取决于上底与下底之和以及高。两底之和都是18厘米，高都是5厘米，面积均为18×5÷2＝45（平方厘米）。
第10题：1平方米。
解析：先把上底120厘米化为1.2米，下底80厘米化为0.8米；再算（1.2＋0.8）×1÷2＝1（平方米）。不能把厘米与米直接混合计算。
C组｜实际应用
第11题：144平方米。
解析：（12＋20）×9÷2＝32×9÷2＝144（平方米）。
答：这块草坪的面积是144平方米。
第12题：12平方米。
解析：每块广告牌的面积是（1.2＋2.8）×1.5÷2＝3（平方米）；4块的总面积是3×4＝12（平方米）。
答：不考虑损耗，共需要12平方米材料。
第13题：8米。
解析：高＝面积×2÷（上底＋下底），96×2÷（10＋14）＝192÷24＝8（米）。
答：这块菜地的高是8米。
D组｜思维提升
第14题：22厘米。
解析：先求两底之和：90×2÷6＝30（厘米）；再减去上底：30－8＝22（厘米）。
验算：（8＋22）×6÷2＝90（平方厘米），符合条件。
答：下底是22厘米。
第15题：（1）96平方厘米；（2）96平方厘米；（3）两底之和不变，高也不变，所以面积不变。
解析：原面积为（7＋17）×8÷2＝96（平方厘米）。变化后，上底是7＋3＝10（厘米），下底是17－3＝14（厘米）；新面积为（10＋14）×8÷2＝96（平方厘米）。两次计算中两底之和都是24厘米，且高都是8厘米，因此面积相等。
五、本篇总结
梯形的面积，重点是理解拼图转化、找准两底和高，以及灵活使用公式。
① 理解推导：两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形；一个梯形的面积是拼成图形面积的一半。
② 牢记公式：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，字母式为S＝（a＋b）h÷2。
③ 避免常见错误：必须先把两底相加；不能忘记除以2；斜腰不等于高；计算前要统一长度单位。
④ 学会反求：高＝面积×2÷两底之和；另一条底＝面积×2÷高－已知的一条底。
⑤ 理解面积变化：高相等、两底之和相等的梯形，面积相等，即使形状不同也成立。
达标标准：能说明面积公式中“上下底相加”和“除以2”的原因，正确计算梯形面积，准确区分斜腰与高，会反求底或高，并能解决基本应用题。
下一篇预告：组合图形的面积——学会分割与添补，把复杂图形转化为熟悉的图形。
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