第08篇｜分解质因数：把合数拆成质数相乘
第二专题：因数与倍数
本篇核心：理解质因数的意义，掌握用分步拆分和短除法分解质因数的方法，做到不遗漏、不重复、能验算。
上一课，我们已经认识了质数与合数。现在要进一步弄清楚：一个合数能不能一直拆分，直到每个因数都是质数？
答案是可以的。学会分解质因数，就能更清楚地认识整数的组成，也为后续学习最大公因数、最小公倍数和分数约分、通分打下基础。
一、核心知识：抓住这4点
① 什么是质因数？必须同时满足两个条件
如果一个数既是某个数的因数，又是质数，那么这个数就是它的质因数。
例如：18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中2和3是质数，所以18的质因数是2和3。
注意：1不是质数；6和9虽然是18的因数，但它们是合数，都不是质因数。
② 什么是分解质因数？把合数写成质数相乘的形式
例如：12 = 2 × 2 × 3。
右边的2、2、3都是质数，因此这就是把12分解质因数。
但是，12 = 2 × 6 还不算完成，因为6是合数，还能继续拆成2 × 3。
要记住：分解质因数的最后一步，乘号右边的每一个因数都必须是质数。
本篇研究非0自然数，分解质因数的对象是合数。1既不是质数也不是合数；质数本身不需要再分解。
③ 用分步拆分法：每次拆出因数，直到全部是质数
例如：分解60。
- 60 = 6 × 10
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
所以：60 = 2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 5。
也可以从60 = 2 × 30开始拆。拆分顺序不同，最后得到的质因数相同，只是排列顺序可能不同。
④ 用短除法：依次除以质数，直到商为1
例如：分解72。
- 72 ÷ 2 = 36。
- 36 ÷ 2 = 18。
- 18 ÷ 2 = 9。
- 9 ÷ 3 = 3。
- 3 ÷ 3 = 1。
所以：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3。
短除法的关键：每一步都用质数去除；一直除到商为1；把每次使用的质数全部相乘。
验算：2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72，正确。
二、典型例题：三类情况要会
例1｜先找质因数，再完成分解
把30分解质因数。
30 = 2 × 15 = 2 × 3 × 5。
答案：30 = 2 × 3 × 5。
其中2、3、5都是30的质因数。
例2｜遇到重复的质因数，不能漏写
把48分解质因数。
48 = 2 × 24 = 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
答案：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3。
注意：质因数2出现了4次，不能只写一个2。说“48有哪些不同的质因数”时，答案才是2和3。
例3｜检查拆分有没有真正完成
小明写出：90 = 2 × 45 = 2 × 5 × 9。
这样算完成了吗？
没有。因为9不是质数，还要继续分解成3 × 3。
正确答案：90 = 2 × 3 × 3 × 5。
检查：2 × 3 × 3 × 5 = 90。
三、专项训练（建议先独立完成）
A组｜基础掌握（认识质因数，学会分解）
- 在18的因数1、2、3、6、9、18中，找出18的所有不同质因数。
- 把12分解质因数。
- 把28分解质因数。
- 把45分解质因数。
- 把32分解质因数。
B组｜易错辨析（注意是否全部为质数）
- 判断并改正：18 = 2 × 9，已经完成分解质因数。
- 判断并说明理由：24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3，是规范的分解质因数结果。
- 把49分解质因数，并说明它为什么是合数。
- 判断并验算：60 = 2 × 2 × 3 × 5，是正确的分解质因数结果。
- 判断并改正：“36的质因数有2、3、4。”
C组｜综合应用（利用质因数理解数的组成）
- 把42分解质因数，并写出42有哪几种不同的质因数。
- 60块积木先平均分成2大组，每大组再平均分成2小组，每小组再平均分成3份。最后每份有多少块积木？请写出60的质因数分解式。
- 把84分解质因数。根据分解结果，判断84能不能被7整除，并说明理由。
D组｜思维提升（抓住质因数的数量关系）
- 一个合数分解质因数后得到2、2、3、7。这个合数是多少？它有几种不同的质因数？
- 一个合数有4个质因数（相同的质因数重复计数），每个质因数都是2、3、5中的一个，其中5恰好出现一次。已知这个合数大于60、小于100，求这个合数。
四、参考答案与解析
A组｜基础掌握
第1题：2、3
解析：18的因数中，只有2和3是质数。1不是质数，6、9、18都是合数。
第2题：12 = 2 × 2 × 3
解析：12 = 2 × 6，6 = 2 × 3，拆到右边全部是质数为止。
第3题：28 = 2 × 2 × 7
解析：28 = 4 × 7 = 2 × 2 × 7。
第4题：45 = 3 × 3 × 5
解析：45 = 5 × 9 = 5 × 3 × 3，按从小到大排列可写成3 × 3 × 5。
第5题：32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
解析：32连续除以2，依次得到16、8、4、2、1，一共用了5个2。
B组｜易错辨析
第6题：错误。正确结果是18 = 2 × 3 × 3
解析：9是合数，不能作为最后的质因数；还要把9分解成3 × 3。
第7题：错误
解析：等式的乘积虽然等于24，但1不是质数，不能写在分解质因数结果中。正确写法为24 = 2 × 2 × 2 × 3。
第8题：49 = 7 × 7
解析：7是质数。49除了1和49以外还有因数7，因此49是合数。
第9题：正确
解析：2、2、3、5都是质数，并且2 × 2 × 3 × 5 = 60，所以分解正确。
第10题：错误。36的不同质因数只有2和3
解析：36 = 2 × 2 × 3 × 3。4虽然是36的因数，但4是合数，不是质因数。
C组｜综合应用
第11题：42 = 2 × 3 × 7；不同质因数是2、3、7
解析：42 = 2 × 21 = 2 × 3 × 7。三者都是质数。
第12题：每份5块；60 = 2 × 2 × 3 × 5
解析：60 ÷ 2 ÷ 2 ÷ 3 = 5（块）。也可以根据60 = 2 × 2 × 3 × 5，知道连续按2、2、3平均分后，剩余每份5块。
第13题：84 = 2 × 2 × 3 × 7；能被7整除
解析：84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7。因为分解结果中含有质因数7，所以84是7的倍数；84 ÷ 7 = 12。
D组｜思维提升
第14题：84；3种不同的质因数
解析：2 × 2 × 3 × 7 = 84。质因数一共出现4次，但不同的质因数只有2、3、7三种。
第15题：90
解析：已知5出现一次，先除去一个质因数5，剩下三个质因数相乘的结果应大于12、小于20，并且这三个质因数只能是2或3。逐一考虑：
- 2 × 2 × 2 = 8，原数是40。
- 2 × 2 × 3 = 12，原数是60。
- 2 × 3 × 3 = 18，原数是90。
- 3 × 3 × 3 = 27，原数是135。
只有90符合大于60、小于100的条件，因此90 = 2 × 3 × 3 × 5。
五、本篇总结
分解质因数，是把合数的组成看清楚。关键不是拆得快，而是拆得完整、写得准确。
① 认识质因数：既是一个数的因数，又必须是质数。
② 理解分解质因数：把合数写成几个质数相乘的形式，结果不能再含有合数或1。
③ 掌握两种方法：可以分步拆分，也可以用短除法；最终都要得到相同的质因数。
④ 学会检查：重复出现的质因数不能漏，最后把所有质因数相乘，应当等于原数。
达标标准：能准确找出一个合数的不同质因数，熟练分解常见合数，区分“质因数的种类”和“质因数出现的次数”，并能通过乘法验算。
下一篇预告：公因数与最大公因数——找出几个数共有的因数，为分数约分做好准备。
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